Трапеция, ее свойства, формулы площади, высоты, сторон.

Трапеция (понятие, определение):

Трапеция (от др.-греч. τραπέζιον – «столик» от τράπεζα – «стол») – это выпуклый четырёхугольник, у которого две стороны параллельны, а другие две стороны не параллельны.

Трапеция – это выпуклый четырехугольник, у которого только одна пара сторон параллельна.

Трапеция – это выпуклый четырехугольник, у которого две стороны параллельны, и стороны не равны между собой.

Рис. 1. Трапеция

Выпуклым четырёхугольником называется четырёхугольник, все точки которого лежат по одну сторону от любой прямой, проходящей через две его соседние вершины.

Решение задач по теме «Параллелограмм»

На про­шлом уроке мы уже рас­смот­ре­ли ряд задач, свя­зан­ных с па­рал­ле­ло­грам­мом и тра­пе­ци­ей. На этом уроке про­дол­жим ре­шать раз­лич­ные при­ме­ры на эту тему.

При­мер 1.

Пе­ри­метр па­рал­ле­ло­грам­ма равен , . Какую сто­ро­ну па­рал­ле­ло­грам­ма пе­ре­се­ка­ет бис­сек­три­са угла? Найти от­рез­ки, ко­то­рые об­ра­зу­ют­ся при этом пе­ре­се­че­нии.

Дано: – па­рал­ле­ло­грамм; , – бис­сек­три­са .

Ре­ше­ние:

Рис. 1

Пусть . Вос­поль­зу­ем­ся тем фак­том, что пе­ри­метр па­рал­ле­ло­грам­ма равен . Тогда: .

Как же вы­яс­нить: какую сто­ро­ну пе­ре­се­чёт бис­сек­три­са ?

Для этого вос­поль­зу­ем­ся сле­ду­ю­щи­ми рас­суж­де­ни­я­ми. Пусть бис­сек­три­са пе­ре­се­ка­ет сто­ро­ну (или её про­дол­же­ние) в точке . Тогда: (по опре­де­ле­нию бис­сек­три­сы), (свой­ство внут­рен­них од­но­сто­рон­них углов при па­рал­лель­ных пря­мых). От­сю­да: – рав­но­бед­рен­ный. Зна­чит, . Зна­чит, .

Мы прак­ти­че­ски от­ве­ти­ли и на вто­рой во­прос за­да­чи: .

Ответ: бис­сек­три­са пе­ре­се­ка­ет сто­ро­ну и делит её на от­рез­ки и .

При­мер 2.

Сто­ро­ны па­рал­ле­ло­грам­ма равны . Бис­сек­три­сы двух углов, при­ле­га­ю­щих к боль­шей сто­роне, делят про­ти­во­по­лож­ную сто­ро­ну на три от­рез­ка. Най­ди­те эти от­рез­ки.

Дано: – па­рал­ле­ло­грамм; – бис­сек­три­сы.

Найти:

Ре­ше­ние:

Рис. 2

Если вос­поль­зо­вать­ся ре­ше­ни­ем при­ме­ра 1, можно сразу сде­лать вывод, что тре­уголь­ни­ки – рав­но­бед­рен­ные (так как , ). По­лу­ча­ем, что . Тогда: .

Ответ: .

При­мер 3.

Через про­из­воль­ную точку ос­но­ва­ния рав­но­бед­рен­но­го тре­уголь­ни­ка про­ве­де­ны две пря­мые, па­рал­лель­ные бо­ко­вым сто­ро­нам. До­ка­зать, что пе­ри­метр по­лу­чен­но­го че­ты­рёх­уголь­ни­ка равен сумме бо­ко­вых сто­рон тре­уголь­ни­ка.

Дано: – рав­но­бед­рен­ный тре­уголь­ник (); .

До­ка­зать:

До­ка­за­тель­ство:

Рис. 3

– па­рал­ле­ло­грамм (по опре­де­ле­нию – так как: ). До­ка­жем, что тре­уголь­ни­ки – рав­но­бед­рен­ные. Дей­стви­тель­но: – как со­от­вет­ствен­ные. С дру­гой сто­ро­ны, (свой­ство рав­но­бед­рен­но­го тре­уголь­ни­ка). Зна­чит, и тре­уголь­ни­ки – рав­но­бед­рен­ные. Тогда, , что и тре­бо­ва­лось до­ка­зать.

До­ка­за­но

Виды трапеций:

Равнобедренная трапеция или равнобокая трапеция – это трапеция, у которой боковые стороны равны.

Рис. 2. Равнобедренная трапеция

Прямоугольная трапеция – это трапеция, один из углов при боковой стороне которой прямой.

Прямоугольная трапеция – это трапеция, имеющая прямые углы при боковой стороне.

Рис. 3. Прямоугольная трапеция

Повторение свойств и признаков параллелограмма

Оче­вид­но, что для ре­ше­ния задач на тему «Па­рал­ле­ло­грамм и тра­пе­ция», необ­хо­ди­мо по­вто­рить ос­нов­ные по­ня­тия, свя­зан­ные с этими фи­гу­ра­ми. Вспом­ним их свой­ства и при­зна­ки.

Рас­смот­рим сна­ча­ла па­рал­ле­ло­грамм.

Опре­де­ле­ние. Па­рал­ле­ло­грамм – че­ты­рех­уголь­ник, у ко­то­ро­го каж­дые две про­ти­во­по­лож­ные сто­ро­ны па­рал­лель­ны (см. Рис. 1).

Рис. 1. Па­рал­ле­ло­грамм

Ос­нов­ные свой­ства па­рал­ле­ло­грам­ма:

Чтобы иметь воз­мож­ность при ре­ше­нии задач поль­зо­вать­ся ука­зан­ны­ми свой­ства­ми, нам необ­хо­ди­мо по­ни­мать, яв­ля­ет­ся ли ука­зан­ный че­ты­рех­уголь­ник па­рал­ле­ло­грам­мом или нет. Для этого необ­хо­ди­мо знать при­зна­ки па­рал­ле­ло­грам­ма.

Тео­ре­ма. Пер­вый при­знак па­рал­ле­ло­грам­ма. Если в че­ты­рех­уголь­ни­ке две про­ти­во­по­лож­ные сто­ро­ны равны и па­рал­лель­ны (см. Рис. 2), то этот че­ты­рех­уголь­ник – па­рал­ле­ло­грамм. па­рал­ле­ло­грамм.

Рис. 2. Пер­вый при­знак па­рал­ле­ло­грам­ма

Тео­ре­ма. Вто­рой при­знак па­рал­ле­ло­грам­ма. Если в че­ты­рех­уголь­ни­ке каж­дые две про­ти­во­по­лож­ные сто­ро­ны равны (см. Рис. 3), то этот че­ты­рех­уголь­ник – па­рал­ле­ло­грамм. па­рал­ле­ло­грамм.

Рис. 3. Вто­рой при­знак па­рал­ле­ло­грам­ма

Тео­ре­ма. Тре­тий при­знак па­рал­ле­ло­грам­ма. Если в че­ты­рех­уголь­ни­ке диа­го­на­ли точ­кой пе­ре­се­че­ния де­лят­ся по­по­лам (см. Рис. 4), то этот че­ты­рех­уголь­ник – па­рал­ле­ло­грамм. па­рал­ле­ло­грамм.

Рис. 4. Тре­тий при­знак па­рал­ле­ло­грам­ма

Элементы трапеции: основания, боковые стороны, средняя линия и высота:

Параллельные стороны трапеции называются основаниями трапеции, а две другие – непараллельные – боковыми сторонами.

Рис. 4. Трапеция

AD и BC – основания трапеции, AB и CD – боковые стороны трапеции.

AD – большее основание трапеции, BC – меньшее основание трапеции.

Отрезок, соединяющий середины боковых сторон трапеции, называется средняя линия.

Рис. 5. Трапеция и срединная линия

Расстояние между основаниями трапеции называется высотой трапеции.

Рис. 6. Трапеция

Высота трапеции (h) определяется формулой:

где b – большее основание трапеции, a – меньшее основание трапеции, c и d – боковые стороны трапеции.

Лучшие упражнения для проработки трапеций

Теперь давайте рассмотрим упражнения, которые помогут вам добиться максимального результата при проработке трапециевидных мышц.

Шраги со штангой

Шраги со штангой – это основное упражнение на массу трапеций. Здесь работает преимущественно их верхняя часть, так как при подъеме штанга располагается перед вами. Движение должно быть амплитудным, как будто в верхней точке вы стараетесь плечами дотянуться до ушей. В этом движении можно работать с достаточно большим весом, так вы сможете лучше почувствовать растяжение мышц в нижней точке. При необходимости используйте кистевые лямки и атлетический пояс.

Используйте средний хват на ширине плеч, чтобы не включать в работу плечи. При подъеме удерживайте штангу как можно ближе к корпусу и минимизируйте читинг – этот способ не приведет ни к чему, кроме увеличения травмоопасности движения. Альтернативный вариант – шраги в Смите.

Шраги с гантелями

Шраги с гантелями – это упражнение на верхнюю часть трапеции. Здесь рекомендуется использовать вес поменьше, но делать больше повторений, так вы легче добьетесь интенсивного пампинга (кровенаполнения мышц).

Поскольку в этом упражнении кисти повернуты параллельно друг другу, в работу активно вовлекаются предплечья. Поэтому концентрируйтесь на том, чтобы держать руки прямыми и не сгибать локти. Тогда вы будете поднимать гантели усилием трапеций, а не рук. Также вы можете использовать лямки.

Чтобы превратить шраги с гантелями в упражнение на среднюю и нижнюю части трапеции, сядьте на скамью и немного наклонитесь вперед:

Это изменит вектор нагрузки, и вы будете сильнее сводить лопатки в верхней точке. За счет этого большая часть нагрузки и перейдет в среднюю и нижнюю части трапециевидных мышц.

Шраги в тренажере

Для этого упражнения вам понадобятся нижний блок и широкая рукоять. Держа спину прямой, подтягивайте плечи вверх и немного назад. Биомеханика движения отличается от движений в классических шрагах со штангой. За счет отведения плеч назад вы сильнее нагружаете среднюю часть трапеций и задние пучки дельтовидных мышц. Из-за этого сзади верх спины будет выглядеть более массивным и бугристым. Кроме того, устройство блочного тренажера предопределяет более сильное растяжение мышц в нижней точке, что только увеличивает КПД этого упражнения.

Шраги со штангой за спиной

Это прекрасное упражнение на среднюю и нижнюю трапецию. Оно не совсем подходит для новичков, так как требует развитого мышечного каркаса и хорошей растяжки плечевых суставов.

Для удобства это упражнение рекомендуется выполнять в тренажере Смита. В нижней точке немного расслабьте все мышцы плечевого пояса, чтобы опустить штангу как можно ниже. Но не забывайте держать при этом поясничный отдел позвоночника идеально ровно. Чем ближе к спине вы будете вести штангу при подъеме, тем сильнее будут работать трапеции. Более удаленное положение будет сильнее нагружать задние дельты.

Тяга штанги к подбородку узким хватом

Тяга штанги к подбородку – это базовое упражнение, при котором работают как трапеции, так и плечи. В этом упражнении важно взяться достаточно узко и держать локоть выше уровня кисти, тогда вы сможете работать в полную амплитуду и нагружать всю область трапециевидных мышц. Чем шире вы беретесь, тем больше нагрузка уходит на средние дельты.

Альтернативные упражнения: тяга в Смите к подбородку узким хватом, тяга двух гантелей к подбородку узким хватом, тяга гири к подбородку.

Становая тяга

Обзор упражнений был бы неполным без упоминания становой тяги. Не столь важна даже ее разновидность, будь то классика, сумо, тяга трэп-грифа, румынская тяга или тяга с гантелями. В этом упражнении динамической нагрузки на интересующую нас мышечную группу почти нет, но трапеции несут мощнейшее статическое напряжение в течение всего подхода. Опытные спортсмены работают с серьезными весами в этом упражнении, это и предопределяет дальнейший рост трапеций. Поэтому именно пауэрлифтеры чаще других могут похвастаться внушительными трапециями, даже не делая отдельных упражнений на эту мышечную группу.

Также трапеция несет часть нагрузки при выполнении любых горизонтальных тяг на толщину спины: тяге штанги или гантели в наклоне, Т-грифа, нижнего блока и других, а также при использовании узкого хвата в вертикальных тягах (подтягиваниях, тяге верхнего блока и т. д.). Косвенно нагрузка ложится на трапецию и во время многих упражнений для дельтовидных мышц, например, махи с гантелями стоя, сидя или в наклоне, тяга штанги к подбородку широким хватом, отведения рук в тренажере на заднюю дельту и другие.

Свойства трапеции:

1. Средняя линия трапеции параллельна основаниям и равна их полусумме.

Рис. 7. Трапеция и срединная линия

MN || BC, MN || AD,

l = (a + b) / 2

2. Отрезок, соединяющий середины диагоналей трапеции, равен половине разности оснований и лежит на средней линии.

Рис. 8. Трапеция

MN = (b – a) / 2

3. Сумма внутренних углов трапеции (и любого другого четырёхугольника) равна 360° .

Сумма углов, прилежащих к боковой стороне трапеции, равна 180° .

Рис. 9. Трапеция

4. Точка пересечения диагоналей трапеции, точка пересечения продолжений её боковых сторон и середины оснований лежат на одной прямой.

Рис. 9. Трапеция

5. Биссектриса любого угла трапеции отсекает на её основании (или продолжении) отрезок, равный боковой стороне.

Рис. 10. Трапеция

AB = BK

6. Если сумма углов при одном из оснований трапеции равна 90°, то отрезок, соединяющий середины оснований, равен их полуразности.

Рис. 11. Трапеция

∠BAD + ∠CDA = 90°, MN = (AD – DC) / 2

7. В трапецию можно вписать окружность, если сумма длин оснований трапеции равна сумме длин её боковых сторон.

Рис. 12. Трапеция

AB + CD = AD + BC

В трапеции её боковая сторона видна из центра вписанной окружности под углом 90°.

Рис. 13. Трапеция

Средняя линия в этом случае равна сумме боковых сторон, делённой на 2 (так как средняя линия трапеции равна полусумме оснований).

Рис. 14. Трапеция

MN = (AB + CD) / 2,

MN = (AD + BC) / 2

8. Диагонали трапеции делят ее на 4 треугольника.

Два из них, прилежащие к основаниям, подобны.

Два других, прилежащие к боковым сторонам, имеют одинаковую площадь.

Рис. 15. Трапеция

Треугольники BCO и AOD подобны. Коэффициент подобия треугольников (k) находится как отношение оснований трапеции. k = AD / BC. Отношение площадей этих подобных треугольников есть k2.

Треугольники ABO и CDO имеют одинаковую площадь.

9. Каждая диагональ в точке пересечения делится на две части с таким соотношением длины, как соотношение между основаниями.

Рис. 16. Трапеция

BC : AD = OC : AO = OB : DO

10. Диагонали трапеции d1и d2 связаны со сторонами соотношением:

d12 + d22 = 2ab + c 2 + d 2

где b – большее основание трапеции, a – меньшее основание трапеции, c и d – боковые стороны трапеции.

11. Средняя линия трапеции разделяет пополам любой отрезок, который соединяет основания трапеции, так же делит диагонали пополам.

Рис. 17. Трапеция

AK = KB, AM = MC, BN = ND, CL = LD,

KL – средняя линия

Рис. 17. Трапеция

AK = KB, AM = MC, BN = ND, CL = LD,

KL – средняя линия, UV – отрезок, который соединяет основания трапеции

12. Средняя линия разбивает трапецию на две трапеции, площади которых соотносятся как:

где b – большее основание трапеции, a – меньшее основание трапеции, S1 и S2 – площади образованных трапеций, в результате разделения средней линией.

Рис. 18. Трапеция

S1 – площадь трапеции MBCN,

S2 – площадь трапеции AMND

Задача на трапецию

При­мер 4. В тра­пе­ции про­ве­де­ны бис­сек­три­сы углов при вер­ши­нах . Найти угол между бис­сек­три­са­ми.

Ре­ше­ние. Ин­те­рес­но, что усло­вие за­да­чи и ре­ше­ние в рав­ной сте­пе­ни под­хо­дит и для слу­чая па­рал­ле­ло­грам­ма и тра­пе­ции. Вы­пол­ним Рис. 14.

Рис. 14

– бис­сек­три­сы, они делят со­от­вет­ству­ю­щие углы по­по­лам, обо­зна­чим их и .

По свой­ству тра­пе­ции .

Рас­смот­рим : .

Ответ. .

Свойства равнобедренной трапеции:

1. Прямая, которая проходит через середины оснований, перпендикулярна основаниям, тем самым, является осью симметрии равнобедренной трапеции.

2. Высота, опущенная из вершины на большее основание равнобедренной трапеции, делит его на два отрезка, один из которых равен полусумме оснований, а другой — полуразности оснований.

3. Углы при любом основании равнобедренной трапеции равны.

4. Сумма противоположных углов равнобедренной трапеции равна 180°.

5. Длины диагоналей равнобедренной трапеции равны.

6. Вокруг равнобедренной трапеции можно описать окружность.

7. При перпендикулярности диагоналей в равнобедренной трапеции ее высота равна полусумме оснований.

Рекомендации по тренировке трапеций

• Шраги по праву считаются лучшим упражнением для развития трапеции, но многие спортсмены делают их неправильно. Нельзя включать в работу бицепсы и предплечья. Справиться с этим очень хорошо помогают кистевые лямки. Локти должны быть почти полностью выпрямлены на протяжении всего подхода, тогда нагрузка будет ложиться целенаправленно на трапецию.
• Не используйте слишком большой рабочий вес. Тренируя трапециевидные мышцы, гораздо важнее работать в полную амплитуду и чувствовать максимальное сокращение мышц в верхней точке, задерживаясь в ней на 1-2 секунды.
• Не прижимайте подбородок к груди при выполнении шрагов. Это увеличивает компрессию шейного отдела позвоночника и может привести к травме.
• Трапеция любит пампинг. Чтобы как следует «забить» эти мышцы кровью, используйте суперсеты, комбинируя шраги любой вариации с тяговыми движениями, которые включат в работу еще и плечи, – например, с тягой подбородку узким хватом. Другой вариант увеличения интенсивности – в конце каждого подхода выполняйте дропсеты: уменьшайте рабочий вес и без отдыха делайте еще подход или два с более легким весом.
• Трапеции – относительно небольшая мышечная группа, ее достаточно тренировать раз в неделю. Оптимально совместить ее с тренировкой спины или плеч. Чтобы весь плечевой пояс выглядел массивно, не забывайте уделять достаточно внимания также своим дельтам и мышцам шеи. Если вы заметили, что трапеции стали обгонять в развитии плечи, что визуально делает фигуру менее широкой в плечевом поясе, просто перестаньте выполнять отдельные упражнения на эту мышечную группу.
• Тренировка трапеций должна быть короткой, но интенсивной. Как правило, на проработку этой мышечной группы достаточно одного-двух упражнений. Чередуйте разные движения на каждой тренировке и выполняйте их в разном порядке, тогда вы быстрее добьетесь прогресса.
• Следите за осанкой. Нередко сутулость в области шейного и грудного отдела позвоночника не дает полноценно тренировать трапецию. Спортсмен просто не может выполнить нужное движение в полную амплитуду и почувствовать сокращение мышц.
• Тренируйтесь умеренно. Перетренированность трапециевидных мышц приведет к ухудшению кровообращения в мышцах шеи и всем шейном отделе позвоночника. Это чревато увеличением внутричерепного давления, головными болями и головокружением.
• Выполнение шрагов не предполагает вращение плечевыми суставами в верхней точке. По какой-то причине этим грешат многие начинающие спортсмены. При использовании большого рабочего веса это вращение превращается в одно из самых губительных движений для ротаторной манжеты вашего плеча. Правильная траектория движения подразумевает поднятие и опускание веса в одной плоскости, никаких посторонних движений быть не должно.

Высота трапеции

Высотой трапеции называется самый короткий по длине отрезок, который продолжается ровно от одного основания до другого. Он выполняет своеобразную вспомогательную роль в задачах вплоть до 10 класса с неизвестными сторонами и в тех задачах, где нужно дополнить фигуру до прямоугольника, например.

Для нахождения длины этого отрезка нам необходимо знать оба основания (a и b), а также боковую сторону c. Также полезно было бы знать угол при большем основании α. Формулы здесь довольно простые и не нуждаются в доказательстве.

Как найти стороны трапеции?

Существует множество различных способов решения данной задачи, однако мы предложим только некоторые из них.

В первую очередь можно найти стороны с помощью средней линии:

Есть альтернатива, если вам известны высота и угол при большем основании: